|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
страницы:
1
2
3
Текущая страница: 1
|
|
Математическое программирование
Общая задача линейного программирования (ЗЛП):
Здесь (1) называется системой ограничений , ее матрица имеет ранг r ( n, (2) - функцией цели (целевой функцией). Неотрицательное решение (х10, x20, ... , xn0) системы (1) называется допустимым решением (планом) ЗЛП. Допустимое решение называется оптимальным, если оно обращает целевую функцию (2) в min или max (оптимум).
Симплексная форма ЗЛП. Для решения ЗЛП симплекс - методом необходимо ее привести к определенной (симплексной) форме:
(2`) f+cr+1xr+1 + ... + csxs + ... + cnxn = b0 ( min
Здесь считаем r < n (система имеет бесчисленное множество решений), случай r = n неинтересен: в этом случае система имеет единственное решение и если оно допустимое, то автоматически становится оптимальным.
В системе (1`) неизвестные х1, х2, ... , хr называются базисными (каждое из них входит в одно и только одно уравнение с коэффициентом +1), остальные хr+1, ... , xn - свободными. Допустимое решение (1`) называется базисным (опорным планом), если все свободные неизвестные равны 0, а соответствующее ему значение целевой функции f(x10, ... , xr0,0, ... ,0) называется базисным.
В силу важности особенностей симплексной формы выразим их и словами:
а) система (1`) удовлетворяет условиям :
все ограничения - в виде уравнений;
все свободные члены неотрицательны, т.е. bi ( 0;
имеет базисные неизвестные;
б) целевая функция (2`) удовлетворяет условиям :
содержит только свободные неизвестные;
все члены перенесены влево, кроме свободного члена b0;
обязательна минимизация (случай max сводится к min по формуле max f = - min(-f)).
Матричная форма симплекс-метода. Симплексной форме ЗЛП соответствует симплекс - матрица :
1 0 ... 0 ... 0 a1,r+1 ... a1s ... a1n b1
0 1 ... 0 ... 0 a2,r+1 ... a2s ... a2n b2
.................................................................
0 0 ... 1 ... 0 ai,r+1 ... ais ... ain bi
.................................................................
0 0 ... 0 ... 1 ar,r+1 ... ars ... arn br
0 0 ... 0 ... 0 cr+1 ... cs ... cn b0
Заметим, что каждому базису (системе базисных неизвестных ) соответствует своя симплекс - матрица , базисное решение х = (b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) и базисное значение целевой функции f(b1,b2, ... ,br, 0, ... ,0) = b0 (см. Последний столбец !).
Критерий оптимальности плана . Если в последней (целевой) строке симплекс-матрицы все элементы неположительны, без учета последнего b0, то соответствующий этой матрице план оптимален,
т.е. сj ( 0 (j = r+1, n) => min f (b1, ... ,b2,0, ... ,0) = b0.
Критерий отсутствия оптимальности. Если в симплекс-матрице имеется столбец (S-й), в котором последний элемент сs > 0, a все остальные элементы неположительны, то ЗЛП не имеет оптимального плана, т.е. сs > 0, ais ( 0 ( i= 1,r ) => min f = -(.
Если в симплекс-матрице не выполняются оба критерия, то в поисках оптимума надо переходить к следующей матрице с помощью некоторого элемента ais > 0 и следующих преобразований (симплексных):
все элементы i-й строки делим на элемент a+is;
все элементы S-го столбца, кроме ais=1, заменяем нулями;
все остальные элементы матрицы преобразуем по правилу прямоугольника, что схематично показано на фрагменте матрицы и дано в формулах:
akl` = akbais - ailaks = akl - ailaks;
ais ais
bk` = bkais - biaks; cl` = clais - csail
ais ais
Определение. Элемент ais+ называется разрешающим, если преобразование матрицы с его помощью обеспечивает уменьшение (невозрастание) значения, целевой функции; строка и столбец, на пересечении которых находится разрешающий элемент, также называются разрешающими.
Критерий выбора разрешающего элемента. Если элемент ais+ удовлетворяет условию
bi = min bk
ais0 aks0+
где s0 - номер выбранного разрешающего столбца, то он является разрешающим.
Алгоритм симплекс-метода (по минимизации).
систему ограничений и целевую функцию ЗЛП приводим к симплексной форме;
составим симплекс-матрицу из коэффициентов системы и целевой функции в симплексной форме;
проверка матрицы на выполнение критерия оптимальности; если он выполняется, то решение закончено;
при невыполнении критерия оптимальности проверяем выполнение критерия отсутствия оптимальности; в случае выполнения последнего решение закончено - нет оптимального плана;
в случае невыполнения обоих критериев находим разрешающий элемент для перехода к следующей матрице, для чего :
а) выбираем разрешающий столбец по наибольшему из положи тельных элементов целевой строки;
б) выбираем разрешающую строку по критерию выбора разрешающего элемента; на их пересечении находится разрешающий элемент;
c помощью разрешающего элемента и симплекс-преобразований переходим к следующей матрице;
вновь полученную симплекс-матрицу проверяем описанным выше способом (см. п. 3)
Текущая страница: 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
