|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
страницы:
1
2
Текущая страница: 1
|
|
Вычислительная математика
Специальность ПО
5-й семестр
Конспект лекций
Лекция 1
Общее описание метода ветвей и границ организации пол-ного перебора возможностей. Решение задачи о коммивояжере методом ветвей и границ: основная схема.
Пусть - конечное множество и - ве-щественно-значная функция на нем; требуется найти минимум
этой функции и элемент множества, на котором этот минимум
достигается.
Когда имеется та или иная дополнительная информация о множестве, решение этой задачи иногда удается осуществить без полного перебора элементов всего множества M. Но чаще
всего полный перебор производить приходится. В этом случае
обязательно возникает задача, как лучше перебор организовать.
Метод ветвей и границ - это один из методов организации полного перебора. Он применим не всегда, а только тогда, когда
выполняются специфические дополнительные условия на множе-
ство M и минимизируемую на нем функцию. А именно, -
предположим, что имеется вещественно-значная функция ( на множестве подмножеств множества M со следующими двумя свойствами:
для (здесь - множество, состоящее
из единственного элемента );
2) если и , то .
В этих условиях можно организовать перебор элементов множества M с целью минимизации функции на этом множестве так:
разобьем множество M на части (любым способом) и выбе-
рем ту из его частей (1, на которой функция ( минимальна; за-тем разобьем на несколько частей множество (1 и выберем ту из его частей (2, на которой минимальна функция (; затем разо-бьем (2 на несколько частей и выберем ту из них, где минималь-на (, и так далее, пока не придем к какому-либо одноэлементно-му множеству .
Это одноэлементное множество называется рекордом.
Функция (, которой мы при этом выборе пользуемся, называется
оценочной. Очевидно, что рекорд не обязан доставлять минимум
функции f; однако, вот какая возможность возникает сократить
перебор при благоприятных обстоятельствах.
Описанный выше процесс построения рекорда состоял из последовательных этапов, на каждом из которых фиксировалось
несколько множеств и выбиралось затем одно из них. Пусть
- подмножества множества M, возникшие на предпослед-нем этапе построения рекорда, и пусть множество оказалось
выбранным с помощью оценочной функции. Именно при разбие-нии и возник рекорд, который сейчас для определенности обозначим через . Согласно сказанному выше, ,
; кроме того, по определению оценочной функции, .
Предположим, что ; тогда для любого элемента m множества M, принадлежащего множеству , будут верны не-
равенства; это значит, что при полном пере-
боре элементов из M элементы из уже вообще не надо рас-
сматривать. Если же неравенство не будет выполне-
но, то все элементы из надо последовательно сравнить с най-
денным рекордом и как только отыщется элемент, дающий мень-
шее значение оптимизируемой функции, надо им заменить ре-корд и продолжить перебор. Последнее действие называется
улучшением рекорда.
Слова метод ветвей и границ связаны с естественной гра-
фической интерпретацией всего изложенного: строится много-
уровневое дерево, на нижнем этаже которого располагаются
элементы множества M, на котором ветви ведут к рекорду и его
улучшениям и на котором часть ветвей остаются «оборванными»,
потому что их развитие оказалось нецелесообразным.
Мы рассмотрим сейчас первый из двух запланированных в
этом курсе примеров применения метода ветвей и границ - ре-шение задачи о коммивояжере. Вот ее формулировка.
Имеется несколько городов, соединеных некоторым обра-зом дорогами с известной длиной; требуется установить, имеет-
ся ли путь, двигаясь по которому можно побывать в каждом горо-
де только один раз и при этом вернуться в город, откуда путь был начат («обход коммивояжера»), и, если таковой путь имеет-
ся, установить кратчайший из таких путей.
Формализуем условие в терминах теории графов. Города
будут вершинами графа, а дороги между городами - ориентиро-ванными (направленными) ребрами графа, на каждом из кото-рых задана весовая функция: вес ребра - это длина соответству-
ющей дороги. Путь, который требуется найти, это - ориентиро-ванный остовный простой цикл минимального веса в орграфе (напомним: цикл называется остовным, если он проходит по всем вершинам графа; цикл называется простым, если он прохо-
дит по каждой своей вершине только один раз; цикл называется
ориентированным, если начало каждого последующего ребра совпадает с концом предыдущего; вес цикла - это сумма весов его ребер; наконец, орграф называется полным, если в нем име-ются все возможные ребра); такие циклы называются также га-
мильтоновыми.
Очевидно, в полном орграфе циклы указанного выше типа есть. Заметим, что вопрос о наличии в орграфе гамильтонова цикла достаточно рассмотреть как частный случай задачи о ком-мивояжере для полных орграфов. Действительно, если данный орграф не является полным, то его можно дополнить до полного недостающими ребрами и каждому из добавленных ребер при-писать вес (, считая, что ( - это «компьютерная бесконечность», т.е. максимальное из всех возможных в рассмотрениях чисел. Если во вновь построенном полном орграфе найти теперь лег-чайший гамильтонов цикл, то при наличии у него ребер с весом ( можно будет говорить, что в данном, исходном графе «цикла коммивояжера» нет. Если же в полном орграфе легчайший га-мильтонов цикл окажется конечным по весу, то он и будет иско-мым циклом в исходном графе.
Текущая страница: 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
