|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
страницы:
1
2
3
4
5
6
7
Текущая страница: 1
|
|
І. Загальна теорія рівнянь:
1. Рівняння основні означення, твердження
1) В алгебрі розглядають два види рівностей - тотожності і рівняння. Розглянемо функції y=f(x), визначену на множині M, і y=g(x), визначену на множині N.
Якщо на деякій множині R, яка є підмножиною як М, так і N, має місто рівність
f(x)=g(x),
то говорять, що ці функції тотожно рівні на множині R, а рівність
f(x)=g(x)
при цьому називається тотожністю на множині R.
Часто приходиться розглядати функції, про які невідомо, якою є множина значень аргументу, на якій вони тотожно рівні. В такому випадку рівність
f(x)=g(x)
називають рівнянням. Воно виражає задачу пошуку тих значень х, при яких f(x) ? g(x) рівні. Шукані значення х при цьому називають коренями (розв’язками) рівняння. Значення невідомих, які належать множині допустимих значень рівняння і задовольняють його (тобто перетворюють рівняння в правильну рівність (тотожність), називають коренями рівняння. Областю визначення рівняння (1) будемо називати перетин областей визначення функцій f ? g.
Букви, які входять в рівняння, за умовою задачі можуть бути нерівноправними: одні можуть приймати всі свої допустимі значення і називаються коефіцієнтами (інколи параметрами) рівняння; інші, значення яких потрібно знайти, називаються невідомими (їх майже завжди позначають останніми буквами латинського алфавіту: x,y,z, або тими ж буквами, але з індексами: x1,x2,...,xn або y1,y2,...,yk ).
В загальному вигляді рівняння з n невідомими x1,x2,...,xn може бути записано у вигляді
f(x1,x2,...,xn)=g(x1,x2,...,xn), (1)
де f(x1,x2,...,xn),g(x1,x2,...,xn) - функції вказаних змінних. В залежності від кількості невідомих рівняння називають рівнянням з одним, двома і більше невідомими.
Рівняння вважається розв’язаним, якщо знайдено всі його корені або показано, що рівняння коренів немає.
Методи розв’язування рівнянь базуються на понятті рівносильності (еквівалентності).
Якщо всі розв’язки рівняння f(х)=g(x) є розв’язками рівняння ((x)=((x), то говорять, що рівняння ((x)=((x) є наслідком рівняння f(х)=g(x), і записують
f(х)=g(x) (((x)=((x).
Два рівняння f(х)=g(x) ? ((x)=((x) називають еквівалентними, якщо кожне з них являється наслідком другого, і записують
f(х)=g(x) ( ((x)=((x).
Таким чином два рівняння вважаються еквівалентними, якщо множини розв’язків цих рівнянь співпадають.
Рівняння f(х)=g(x) aaa?a?ou aea?aaeaioiei aaii (aai декільком) ??aiyiiyi f1(x)=g1(x), f2(x)= g2(x), якщо множина розв’язків рівняння f(х)=g(x) співпадає з сукупністю множин розв’язків рівнянь f1(x)=g1(x), f2(x)= g2(x).
Можна сказати, що рівняння рівносильні, якщо кожне з них є наслідком другого.
Деякі еквівалентні рівняння:
1.Рівняння F+G=G еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.
2.Рівняння еквівалентне рівнянню F=0, яке розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.
3.Рівняння F(G=0 еквівалентне двом рівнянням F=0 і G=0, кожне з яких розглядається на множині допустимих значень вихідного рівняння.
4.Рівняння Fn=0 еквівалентне рівнянню F=0.
5.Рівняння Fn=Gn при непарному n еквівалентне рівнянню F=G, а при парному n еквівалентне двом рівнянням: F=G і F=-G.
Заміна рівняння рівносильним йому рівнянням або заміна рівняння рівносильною йому сукупністю рівнянь називається рівносильним переходом.
Наведемо основні теореми про рівносильність рівнянь.
ТеоремаІ. Рівняння
f(х)=g(x) і f(х)+((x)=g(x)+((x)
рівносильні, якщо ((x) існує в області визначення вихідного рівняння (1).
З цієї теореми випливає, що доданки можна переносити з однієї частини рівняння в іншу, змінюючи знак цього доданку на протилежний.
Теорема ІІ. Якщо обидві частини рівняння
f(х)=g(x) (1)
помножити на вираз ((x), який існує в області визначення рівняння (1), то отримаємо рівняння
f(х)(((x)=g(x)(((x) ( 2),
яке є наслідком рівняння (1).
Якщо при цьому ((x)(0, то рівняння (1) і (2) рівносильні.
Теорема ІІІ. Рівняння
fn(х)=gn(x), (*)
де n(2 (натуральне), є наслідком рівняння f(х)=g(x).
Це значить, що будь-який корінь рівняння (1) є коренем і рівняння fn(х)=gn(x), але рівняння fn(х)=gn(x), може мати ще й інші корені, які не задовольняють рівняння (1). Іншими словами, при піднесенні до натурального степеня обох частин рівняння (1) можуть з’явитись зайві корені.
Розрізняють рівняння алгебраїчні і трансцендентні. В алгебраїчних рівняннях над невідомими можуть здійснюватись, причому в скінченій кількості, тільки операції додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення до раціонального степеня.
Якщо над невідомими здійснюються й інші операції, то рівняння називають трансцендентним.
Прикладами трансцендентних рівнянь є показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння, а також рівняння, що містять обернені тригонометричні функції.
У загальному випадку трансцендентні рівняння не можуть бути розв’язанні алгебраїчно, тобто за допомогою послідовного виконання ряду аріфметичних та алгебраїчних дій над данними, які належать до їх складу. Елементарна математика розглядає окремі види трансцендентних рівнянь, допускаючих аналітичне рішення. Зокрема, до них відносяться показникові та логафмичні рівняння.
Текущая страница: 1
|
|
|
|
|
 |
Предмет: Математика
|
 |
Тема: Показников та логарифмчн рвняння, нервност та їх системи в шкльному курс математики. |
 |
Ключевые слова: обучения, Обучение, методика обучения решение уравнений функция, уравнений, Показникові та логарифмічні рівняння нерівності та їх системи в шкільному курсі математики., Обучение дошкольное образование школа педагогика, рівняння, дошкольное, педагогика, методика, системи, Показникові, решение, математики., функция, образование, нерівності, логарифмічні, школа, шкільному, курсі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
